Matematyka a Bitewniaki - część 1 - Prawo Lanchestera

Tym postem chciałbym rozpocząć cykl, w którym będę próbował zaprzęgnąć matematykę i algorytmy do bitewniakowego zastosowania. Od pewnego czasu zajmuję się tworzeniem systemu Clash, do którego mechanikę opracowuję od zera (choć jej elementy zaczerpnięte są z wielu istniejących systemów). Aby mechanika ta miała szansę zadziałać nie wystarczy żmudne testowanie. Od czasu do czasu potrzebny jest model matematyczny, ewentualnie równanie lub krótka analiza. W toku prac natknąłem się na kilka ciekawostek i postanowiłem się nimi podzielić z tymi czytelnikami tego bloga.

Nie jestem matematykiem z wykształcenia, podejrzewam też, że nie każdy czytelnik tego bloga nim jest, więc będę się posługiwać terminami  w miarę możliwości zrozumiałymi dla każdego.

W pierwszym odcinku cyklu chciałbym przybliżyć Wam bardzo istotną ale mało popularną regułę.

Jest nią Prawo Kwadratów Lanchestera - Lanchester's Square Law.

Lanchester był matematykiem, wynalazcą, konstruktorem, etc. ale dla nas najistotniejszy jest fakt, że zajmował się analizą pola bitwy. Skonstruował on równania różniczkowe opisujące straty poszczególnych stron w czasie bitwy. Jak one wyglądają - można sobie wyguglać, ale bez technicznego lub matematycznego wykształcenia nie będą one za bardzo zrozumiałe ;-)

Na podstawie tych równań można wyprowadzić prosty wzór, który w mojej opinii jest bardzo interesujący dla każdego domorosłego wargamingowego stratega. Wzór wygląda następująco:

a * A^2 - b * B^2 = M

Co to oznacza?

A - jest to liczebność pierwszego oddziału. Nazwijmy go Alfa.

a - jest to połączony współczynnik reprezentujący siłę ognia, wyszkolenie oraz jakość wyposażenia oddziału Alfa.

B - jest to liczebność oddziału Bravo.

b - jest to siła ognia Bravo

Ze wzoru w sposób jednoznaczny wynika, że różnica iloczynów jakości oraz kwadratu liczebności obu oddziałów w trakcie całej bitwy jest stała i wynosi M.

Co za tym idzie? Załóżmy, że wartość wynosi 0. W tym wypadku efektywność w walce obu sił jest taka sama.

a * A^2 = b * B^2

Ale, co jest istotne, jeżeli liczebność A wzrośnie dwukrotnie. Druga strona musi to skompensować czterokrotnym zwiększeniem siły ognia!

Jak to się przekłada na bitewniaki? Otóż w bardzo prosty sposób. Po pierwsze, większość ludzi, myśli, że jeżeli przeciwnik jest 2 razy lepiej wyszkolony, to ja muszę mieć 2 razy więcej wojska. Otóż nie, potrzebna jest tylko pierwiatek z dwóch razy więcej. (Czyli około 1,4 raza).

Po drugie, jeżeli dobrze oszacujemy wartości a, A, b, B. To z dużym prawdopodobieństwem jesteśmy w stanie określić rezultat bitwy. Jeżeli M równe jest 0, będziemy mieć remis. Jeżeli M jest mniejsze od zera wygra strona Bravo. Jeżeli jest większe, wygra Alfa.

Kolejna ciekawa sprawa, to dzięki równaniom Lanchestera możemy określić wysokość strat!

W przypadku M>0 pierwiastek kwadratowy z M/a to będzie liczba utraconych żołnierzy z Alfy.

Co z tego wynika? Że jeśli zwiększymy 4-krotnie jakość naszego wojska, to straty będą dwukrotnie niższe!

Oczywiście model przyjęty przez Lanchestera jest bardzo uproszczony. Pomija on bardzo wiele aspektów pola bitwy, natomiast pozwala na pewne proste obserwacje, które nie raz sprawdziły się w historii (np w bitwie o Iwo Jimę).

Współcześni analitycy wojskowi zdążyli stworzyć dużo bardziej skomplikowane i zaawansowane modele matematyczne, ale większość z nich jest rzecz jasna ściśle tajna :-) 

A w następnym odcinku będzie o rzutach kośćmi w Clashu.


LINKI:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lanchester%27s_laws
http://www.usna.edu/Users/math/wdj/_files/documents/teach/sm212/DiffyQ/de-lanchesters-eqns.pdf
http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a225484.pdf